在概率论中，分布函数是描述随机变量分布的重要工具。它提供了一个映射，将随机变量的值域映射到概率区间 [0, 1]。

随机变量分布函数的概述

定义

设 X 为一个随机变量。X 的分布函数，记作 F(x)，定义为：

``` F(x) = P(X ≤ x) ```

其中 P(.) 表示概率。

换句话说，F(x) 是 X 取小于或等于 x 的值的概率。

性质

分布函数具有以下性质：

非负性：F(x) ≥ 0 对所有 x 单调递增：如果 x ≤ y，则 F(x) ≤ F(y) 右连续：F(x+) = F(x) 极限：lim(x→-∞) F(x) = 0；lim(x→∞) F(x) = 1

重要性

分布函数在概率论中具有重要意义，因为它允许我们：

计算概率：通过计算 F(x) - F(y)，可以计算随机变量 X 取在 [x, y] 内的概率。 确定概率密度函数：如果 X 是连续随机变量，则其概率密度函数 f(x) 可以通过对 F(x) 求导得到。 比较分布：通过比较不同分布的分布函数，我们可以确定它们相似的程度和差异之处。

例子

均匀分布：取值为 [a, b] 范围内的均匀分布的分布函数为：

``` F(x) = (x - a) / (b - a) if a ≤ x ≤ b ```

正态分布：取值为 (-∞, ∞) 范围内的正态分布的分布函数为：

``` F(x) = (1 / σ√(2π)) ∫(-∞,x] exp(-(t-μ)² / (2σ²)) dt ```

其中 μ 是均值，σ 是标准差。

结论