在计算机科学中，有向无环图（DAG）是一种特殊类型的有向图，其中不存在环路。拓扑排序是一种重要的算法，用于在 DAG 中找到顶点的线性顺序，使得对于图中任意一对顶点 u 和 v，如果从 u 到 v 存在一条有向路径，则 u 在顺序中出现在 v 之前。

有向无环图的拓扑排序：一项基础算法

拓扑排序的应用

拓扑排序在许多领域有广泛的应用，包括：

任务调度：确定多个任务的执行顺序，其中某些任务在其他任务完成之前无法开始。 软件依赖管理：确保在构建软件包之前按照正确的顺序安装依赖关系。 编译器优化：优化代码执行，通过识别可以并行执行的指令序列。 数据流分析：分析程序中的数据流，以优化程序执行。

Kahn 算法

最常见的拓扑排序算法是 Kahn 算法。该算法的工作原理如下：

1. 初始化一个空队列 Q。 2. 对于 DAG 中的每个顶点 u，如果 u 的入度为 0，则将其添加到 Q。 3. 只要 Q 不为空，执行以下步骤： 从 Q 中删除顶点 v。 对于 v 的每个出边 (v, w)，将 w 的入度减 1。 如果 w 的入度变为 0，则将其添加到 Q。 4. 重复步骤 3，直到 Q 为空。

如果拓扑排序成功，则最后得到的顺序将是 DAG 的一个拓扑顺序。否则，如果存在环路，则算法将无法完成。

Kruskal 算法

另一个用于拓扑排序的算法是 Kruskal 算法。该算法通过找到图中的最小生成树（MST）来工作。一旦 MST 被找到，其边可以按任意顺序添加，以形成拓扑顺序。

复杂度

Kahn 算法和 Kruskal 算法都具有 O(V + E) 的时间复杂度，其中 V 是 DAG 中顶点的数量，E 是边的数量。

结论