引言

牛顿万有引力公式的推导

万有引力定律是物理学中最重要的定律之一，它描述了宇宙中任何两个质量物体之间的引力。该定律是由艾萨克·牛顿爵士于1687年提出的。

实验设置

牛顿最初通过观察行星围绕太阳的轨道来推导万有引力公式。他假设，行星受到指向太阳的力，这种力与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离的平方成反比。

数学推导

为了数学化他的假设，牛顿引入了以下变量：

m1：行星的质量 m2：太阳的质量 r：行星到太阳的距离 F：行星感受到的力

牛顿假设力为：

``` F = G (m1 m2) / r^2 ```

其中G是一个常数，称为万有引力常数。为了推导出万有引力公式，牛顿应用了以下步骤：

1. 圆周运动的向心力：牛顿证明，行星受到一个向心力，该力使它们绕太阳做圆周运动。向心力为：

``` F = m1 v^2 / r ```

其中v是行星的速度。

2. 恒定轨道速度：牛顿观察到，行星的轨道速度几乎恒定。这意味着向心力必须始终等于行星感受到的引力。

3. 将两个方程相等：将向心力和引力方程相等，可得：

``` m1 v^2 / r = G (m1 m2) / r^2 ```

4. 消去m1：由于行星的质量与m1成正比，我们可以消去m1，得到：

``` v^2 / r = G m2 / r^2 ```

5. 平方两边：平方两边得到：

``` v^2 = G m2 / r ```

结论